Cilindrul și conul

Problema 1.De bază

Cilindrul circular drept are raza bazei R = 4 cm și generatoarea G = 6 cm. Secțiunea axială este dreptunghiul ABCD, unde AB este un diametru al bazei inferioare.

1. a) Calculați diametrul bazei.
2. b) Calculați lungimea cercului de bază.
3. c) Calculați perimetrul și aria secțiunii axiale.
4. d) Calculați lungimea diagonalei AC a secțiunii axiale.

Problema 2.Consolidat

Secțiunea axială ABCD a unui cilindru circular drept este un pătrat cu diagonala de 8√2 cm.

1. a) Aflați latura pătratului ABCD.
2. b) Aflați raza bazei și generatoarea cilindrului.
3. c) Calculați aria secțiunii axiale.
4. d) Calculați lungimea cercului de bază și aria bazei.

Problema 3.Avansat

Secțiunea axială ABCD a unui cilindru circular drept are diagonala AC = 10 cm, iar diagonala AC formează cu diametrul AB un unghi de 30°.

1. a) Aflați generatoarea cilindrului.
2. b) Aflați diametrul și raza bazei.
3. c) Calculați perimetrul secțiunii axiale.
4. d) Determinați măsura unghiului ascuțit format de diagonalele secțiunii axiale.

Problema 4.Consolidat

Un pahar are forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei de 6 cm și înălțimea de 8 cm. În pahar se pune un pai drept, lung de 12 cm.

1. a) Calculați lungimea maximă a unui segment care poate fi așezat în interiorul paharului.
2. b) Care este lungimea minimă a porțiunii de pai care iese din pahar?
3. c) Calculați lungimea marginii paharului (folosiți π ≈ 3,14).

Problema 5.De bază

Conul circular drept cu vârful V are raza bazei R = 6 cm și înălțimea VO = 8 cm. Secțiunea axială este triunghiul VAB.

1. a) Calculați generatoarea conului.
2. b) Calculați diametrul bazei și lungimea cercului de bază.
3. c) Calculați perimetrul secțiunii axiale.
4. d) Calculați aria secțiunii axiale.

Problema 6.Consolidat

Secțiunea axială VAB a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu latura de 8 cm.

1. a) Aflați raza bazei și generatoarea conului.
2. b) Calculați înălțimea conului.
3. c) Calculați aria secțiunii axiale.
4. d) Determinați măsura unghiului format de o generatoare cu diametrul bazei.

Problema 7.Avansat

Un con circular drept are generatoarea VA = 6√2 cm, iar generatoarea formează cu raza OA a bazei un unghi de 45°.

1. a) Aflați raza și înălțimea conului.
2. b) Determinați măsura unghiului AVB al secțiunii axiale.
3. c) Calculați aria secțiunii axiale.
4. d) Calculați lungimea cercului de bază.

Problema 8.Avansat

Un cort are forma unui con circular drept cu diametrul bazei de 6 m și înălțimea de 4 m (stâlpul central VO).

1. a) Calculați lungimea unei generatoare a cortului.
2. b) Câți metri de bandă sunt necesari pentru a tivi marginea de jos a cortului? (folosiți π ≈ 3,14)
3. c) Un copil cu înălțimea de 1,5 m stă în picioare la 1 m de stâlpul central. Atinge copilul pânza cortului? Justificați.

Problema 9.Avansat

Un cilindru circular drept are lungimea cercului de bază de 24 cm și generatoarea de 5 cm. Punctul A se află pe cercul bazei inferioare, iar punctul C pe cercul bazei superioare, astfel încât AC este diagonală a unei secțiuni axiale. O furnică merge pe suprafața laterală de la A la C.

1. a) Desfășurați suprafața laterală și precizați dimensiunile dreptunghiului obținut.
2. b) Calculați lungimea drumului minim al furnicii.
3. c) Comparați drumul minim cu lungimea segmentului AC (folosiți π ≈ 3).

Problema 10.Avansat

Un cilindru circular drept are lungimea cercului de bază de 15 cm și generatoarea AA′ = 8 cm. Un fir pleacă din A, se înfășoară o dată în jurul suprafeței laterale și se termină în A′.

1. a) Desfășurați suprafața laterală și calculați lungimea minimă a firului.
2. b) Firul taie generatoarea diametral opusă lui AA′ în punctul N. La ce înălțime se află N?
3. c) Cât ar măsura firul cel mai scurt care pleacă din A, se înfășoară de două ori în jurul cilindrului și se termină în A′? (indicație: alăturați două desfășurări)

Problema 11.Avansat

Un con circular drept are raza bazei de 2 cm și generatoarea de 6 cm. Un fir pleacă din punctul A al cercului de bază, înconjoară conul pe suprafața laterală și revine în A.

1. a) Desfășurați suprafața laterală. Ce figură se obține? Aflați lungimea arcului și măsura unghiului acestei figuri.
2. b) Calculați lungimea minimă a firului.
3. c) Comparați lungimea minimă a firului cu lungimea cercului de bază. Ce observați?

Problema 12.Avansat

Un con circular drept are raza bazei de 3 cm și generatoarea VA = 12 cm, iar M este mijlocul generatoarei VA. O furnică pleacă din A, înconjoară conul pe suprafața laterală și ajunge în M.

1. a) Desfășurați suprafața laterală și aflați măsura unghiului sectorului de cerc obținut.
2. b) Calculați lungimea drumului minim al furnicii.
3. c) Comparați drumul minim cu drumul care urcă direct pe generatoare de la A la M și face înconjurul conului la „înălțimea” lui M (pe cercul care trece prin M).
4. d) Cercul prin M este cel mai scurt drum care înconjoară conul și revine în M? Calculați lungimea drumului minim de la M la M′ (cele două poziții ale lui M în desfășurare) și comparați.