Cubul și paralelipipedul dreptunghic

Fișă de lucru · Clasa a VIII-a · muchii, diagonale, fețe, unghiuri și drumul minim
Nume și prenume:Clasa:Data:
Ne reamintim: diagonala pătratului cu latura l este l√2; diagonala cubului cu muchia l este l√3; diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile a, b, c este d = √a2 + b2 + c2; suma muchiilor paralelipipedului este 4(a + b + c). Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Fiecare corp se rotește dacă îl tragi cu degetul sau cu mouse-ul; muchiile ascunse apar punctate. La problemele 9–12, „Desfășoară” întinde în același plan exact fețele pe care trece drumul, apoi apare drumul minim (cu roșu). Sub fiecare problemă ai spațiu pentru rezolvare.

I. Elementele cubului și ale paralelipipedului dreptunghic

Problema 1.De bază

Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm.

  1. a) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor cubului.
  2. b) Calculați aria unei fețe a cubului.
  3. c) Calculați lungimea diagonalei AC a feței ABCD.
  4. d) Calculați lungimea diagonalei AC′ a cubului.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 2.Consolidat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are dimensiunile AB = 12 cm, BC = 4 cm și AA′ = 3 cm.

  1. a) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
  2. b) Calculați ariile fețelor ABCD, ABB′A′ și BCC′B′.
  3. c) Calculați lungimea diagonalei AC a bazei.
  4. d) Calculați lungimea diagonalei AC′ a paralelipipedului.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Cubul și paralelipipedul dreptunghic · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

Problema 3.Consolidat

Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului ABCDA′B′C′D′ este 48 cm.

  1. a) Aflați lungimea muchiei cubului.
  2. b) Calculați lungimea diagonalei unei fețe.
  3. c) Arătați că triunghiul AB′C este echilateral și calculați perimetrul său.
  4. d) Calculați lungimea diagonalei cubului.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 4.Consolidat

În cubul ABCDA′B′C′D′, diagonala feței ABB′A′ este AB′ = 5√2 cm.

  1. a) Aflați lungimea muchiei cubului.
  2. b) Determinați măsura unghiului BAB′, format de diagonala AB′ cu muchia AB.
  3. c) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor cubului.
  4. d) Calculați lungimea diagonalei cubului.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Cubul și paralelipipedul dreptunghic · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

Problema 5.Consolidat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are baza pătratul ABCD, cu AB = 6 cm, iar diagonala paralelipipedului este AC′ = 11 cm.

  1. a) Calculați lungimea diagonalei bazei AC.
  2. b) Aflați înălțimea AA′ a paralelipipedului.
  3. c) Calculați aria feței ABB′A′.
  4. d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 6.Avansat

Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5, iar suma lungimilor tuturor muchiilor este 96 cm.

  1. a) Aflați dimensiunile paralelipipedului.
  2. b) Calculați lungimile diagonalelor celor trei fețe diferite.
  3. c) Calculați lungimea diagonalei paralelipipedului.
  4. d) Calculați aria celei mai mari fețe.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Cubul și paralelipipedul dreptunghic · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru

Problema 7.Avansat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 4√3 cm, BC = 4 cm și AA′ = 4 cm.

  1. a) Calculați lungimea diagonalei AC a bazei.
  2. b) Determinați măsura unghiului BAC, format de diagonala AC cu muchia AB.
  3. c) Determinați măsura unghiului ACB.
  4. d) Calculați lungimea diagonalei BC′ a feței BCC′B′ și măsura unghiului C′BC.
  5. e) Calculați lungimea diagonalei paralelipipedului.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 8.Avansat

O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 120 cm, lățimea de 40 cm și înălțimea de 30 cm.

  1. a) Câți metri de bandă adezivă sunt necesari pentru a acoperi toate muchiile cutiei?
  2. b) Calculați lungimea diagonalei fundului cutiei.
  3. c) Un baston are lungimea de 1,28 m. Încape bastonul așezat pe fundul cutiei? Dar așezat oblic, de-a lungul diagonalei cutiei? Justificați.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Cubul și paralelipipedul dreptunghic · Clasa a VIII-a · pagina 4Fișă de lucru

II. Drumul minim pe suprafața corpului

Problema 9.Avansat

Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm. O furnică pleacă din vârful A și ajunge în vârful C′ mergând pe fețele ABB′A′ și BCC′B′.

  1. a) Desfășurați cele două fețe în același plan și calculați lungimea drumului minim al furnicii.
  2. b) Drumul minim intersectează muchia BB′ în punctul M. Calculați lungimea segmentului BM.
  3. c) Comparați lungimea drumului minim cu lungimea diagonalei AC′ a cubului. Explicați de ce diagonala nu poate fi drumul furnicii.
Se desfășoară: fețele ABB′A′ și BCC′B′. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 10.Avansat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 8 cm, BC = 4 cm și AA′ = 2 cm. O furnică merge pe suprafața paralelipipedului de la A la C′ și are de ales între două trasee.

  1. a) Traseul 1 trece pe fețele ABB′A′ și BCC′B′ (traversează muchia BB′). Calculați lungimea minimă a acestui traseu.
  2. b) Traseul 2 trece pe fețele ABB′A′ și A′B′C′D′ (traversează muchia A′B′). Calculați lungimea minimă a acestui traseu.
  3. c) Stabiliți care dintre cele două trasee este mai scurt.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Cubul și paralelipipedul dreptunghic · Clasa a VIII-a · pagina 5Fișă de lucru

Problema 11.Avansat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are baza pătratul ABCD cu AB = 3 cm și înălțimea AA′ = 5 cm. Un fir elastic pleacă din A, înfășoară paralelipipedul trecând pe toate cele patru fețe laterale și se termină în A′.

  1. a) Desfășurați suprafața laterală și calculați lungimea minimă a firului.
  2. b) Pentru poziția de lungime minimă, firul intersectează muchiile BB′, CC′ și DD′ în punctele M, N, respectiv P. Calculați BM, CN și DP.
  3. c) Arătați că N este mijlocul muchiei CC′.
Se desfășoară: toate fețele laterale. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 12.Avansat

Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 8 cm, iar M este mijlocul muchiei C′D′. O furnică merge de la A la M pe fețele ABB′A′ și A′B′C′D′.

  1. a) Desfășurați cele două fețe în același plan și calculați lungimea drumului minim.
  2. b) Drumul minim intersectează muchia A′B′ în punctul P. Calculați lungimea segmentului A′P.
  3. c) Comparați drumul minim cu drumul A → A′ → M, care urcă pe muchia AA′ și apoi merge drept pe fața de sus.
Se desfășoară: fețele ABB′A′ și A′B′C′D′. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Cubul și paralelipipedul dreptunghic · Clasa a VIII-a · pagina 6Fișă de lucru