Distanțe minime și desfășurări în plan

Fișă de lucru · Clasa a VIII-a · cub, paralelipiped, piramidă, cilindru și con
Nume și prenume:Clasa:Data:
Ne reamintim: drumul cel mai scurt pe suprafața unui corp, între două puncte aflate pe fețe diferite, devine segment după ce fețele parcurse sunt desfășurate în același plan; lungimea lui se calculează de obicei cu teorema lui Pitagora. Suprafața laterală a cilindrului se desfășoară într-un dreptunghi cu laturile 2πR și G, iar a conului într-un sector de cerc cu raza G și unghiul α = 360° · RG.

Fiecare corp se rotește dacă îl tragi cu degetul sau cu mouse-ul; muchiile ascunse apar punctate. „Desfășoară” întinde în același plan exact fețele (sau suprafața laterală) pe care trece drumul, apoi apare drumul minim (cu roșu). La problema 4 poți alege traseul T₁ sau T₂. Sub fiecare problemă ai spațiu pentru rezolvare.

I. Poliedre

Problema 1. Drumul minim pe fețele alăturate ale unui cubDe bază

Fie cubul ABCDA′B′C′D′ cu muchia AB = 6 cm. O insectă pornește din A, merge pe fețele ABB′A′ și BCC′B′ traversând muchia BB′ și ajunge în C′.

  1. a) Desfășurați fețele ABB′A′ și BCC′B′ în plan.
  2. b) Calculați lungimea drumului minim parcurs de insectă, dmin.
Se desfășoară: fețele ABB′A′ și BCC′B′. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 2. Traseul optim pe fețele laterale ale unui paralelipipedConsolidat

Un paralelipiped dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 9 cm, BC = 7 cm și AA′ = 12 cm. O bandă elastică este întinsă între A și C′, trecând peste muchia BB′.

  1. a) Justificați, prin desfășurare, poziția benzii atunci când lungimea ei este minimă.
  2. b) Aflați lungimea minimă a benzii, Lmin.
Se desfășoară: fețele ABB′A′ și BCC′B′. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Distanțe minime și desfășurări în plan · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

Problema 3. Distanța minimă pe fețele unei piramide patrulatereAvansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are muchia laterală VA = 8 cm și măsura unghiului dintre muchiile laterale alăturate m(∢AVB) = m(∢BVC) = 45°. Pe muchia VC se fixează punctul M cu VM = 6 cm.

  1. a) Desfășurați fețele VAB și VBC în același plan și precizați măsura unghiului AVM obținut.
  2. b) Determinați lungimea minimă a drumului de la A la M pe fețele VAB și VBC, AMmin.
Se desfășoară: fețele VAB și VBC. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 4. Compararea traseelor minime pe paralelipipedul dreptunghicAvansat

O cutie paralelipipedică ABCDA′B′C′D′ are AB = 4 cm, BC = 8 cm și AA′ = 5 cm. Se compară traseul T1 de la A la C′ peste muchia BB′ cu traseul T2 de la A la C′ peste muchia A′B′.

  1. a) Calculați, prin desfășurare, lungimea traseului T1.
  2. b) Calculați, prin desfășurare, lungimea traseului T2.
  3. c) Precizați care este drumul cel mai scurt, dmin.
Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Distanțe minime și desfășurări în plan · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

II. Cilindrul și conul

Problema 5. Traseul elicoidal pe suprafața laterală a unui cilindruConsolidat

Un cilindru circular drept are raza bazei R = 6π cm și înălțimea h = 5 cm. Un fir este înfășurat pe suprafața laterală de la punctul A (baza inferioară) la punctul A′ (baza superioară, pe aceeași generatoare), făcând exact o rotație completă.

  1. a) Desfășurați suprafața laterală a cilindrului și precizați dimensiunile dreptunghiului obținut.
  2. b) Aflați lungimea minimă a firului, Lmin.
Se desfășoară suprafața laterală. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare

Problema 6. Drumul minim în jurul unui con circular dreptAvansat

Un con circular drept are raza bazei R = 2 cm și generatoarea G = 12 cm. O furnică pornește din punctul A de pe cercul bazei, înconjoară conul pe suprafața laterală și revine în punctul A.

  1. a) Aflați măsura unghiului α al sectorului de cerc obținut prin desfășurare.
  2. b) Calculați lungimea drumului minim parcurs de furnică, dmin.
Se desfășoară suprafața laterală. Trage ca să rotești corpul.
Rezolvare
Distanțe minime și desfășurări în plan · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru