Piramida regulată

Fișă de lucru · Clasa a VIII-a · aria fețelor, apotema, muchiile și desfășurarea---------------- prof. Lukacs Tiberiu

Nume și prenume:Clasa:Data:

Notații. O – centrul bazei; M – mijlocul unei laturi a bazei; VM – apotema piramidei (a_p); OM – apotema bazei (a_b); VO – înălțimea piramidei. Lungimile sunt exprimate în centimetri.

Fiecare piramidă din dreapta se poate roti cu degetul sau cu mouse-ul.

I. Calculul elementelor piramidei regulate

Problema 1.Consolidat

Se consideră piramida triunghiulară regulată VABC cu AB = 12 cm și muchia laterală VA = 10 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AB.

a) Calculați aria bazei ABC.
b) Calculați apotema piramidei VM.
c) Calculați aria feței VAB și aria laterală(toate fețele laterale) a piramidei.
d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Problema 2.Consolidat

Se consideră piramida patrulateră regulată VABCD cu AB = 10 cm și apotema VM = 12 cm, unde M este mijlocul muchiei AB.

a) Calculați aria bazei ABCD.
b) Calculați aria unei fețe laterale și aria totală(toate fețele inclusiv baza) a piramidei.
c) Calculați lungimea muchiei laterale VA.
d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Piramida regulată · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

Problema 3.Consolidat

Se consideră piramida hexagonală regulată VABCDEF cu AB = 16 cm și VA = 17 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AB.

a) Calculați apotema piramidei VM.
b) Calculați aria feței VAB și aria laterală a piramidei.
c) Calculați aria bazei ABCDEF.
d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Problema 4.Avansat

O piramidă patrulateră regulată VABCD are toate muchiile de lungimi egale, iar suma lungimilor tuturor muchiilor este egală cu 96 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AB.

a) Aflați lungimea unei muchii a piramidei.
b) Calculați apotema piramidei VM.
c) Calculați aria unei fețe laterale și aria totală a piramidei.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Piramida regulată · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

Problema 5.Avansat

Piramida triunghiulară regulată VABC are aria laterală A_l = 108 cm² și apotema VM = 6 cm, unde M este mijlocul muchiei AB.

a) Aflați lungimea laturii bazei AB.
b) Calculați lungimea muchiei laterale VA.
c) Calculați aria bazei și aria totală a piramidei.
d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Problema 6.Avansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm. Punctul M este mijlocul muchiei AB.

a) Calculați apotema bazei OM și apotema piramidei VM.
b) Calculați aria laterală și aria totală a piramidei.
c) Calculați lungimea muchiei laterale VA și suma lungimilor tuturor muchiilor.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Piramida regulată · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru

Problema 7.Avansat

Piramida hexagonală regulată VABCDEF are apotema bazei OM = 3√3 cm și apotema piramidei VM = 6 cm, unde M este mijlocul muchiei AB.

a) Aflați lungimea laturii bazei AB.
b) Calculați aria unei fețe laterale și aria laterală a piramidei.
c) Calculați lungimea muchiei laterale VA.
d) Calculați aria bazei și aria totală a piramidei.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

II. Desfășurarea piramidei regulate

Problema 8.Avansat

Piramida triunghiulară regulată VABC are toate muchiile egale cu 8 cm (tetraedru regulat).

a) Desenați desfășurarea piramidei, cu baza ABC în mijloc. Arătați că desfășurarea obținută este un triunghi echilateral și aflați lungimea laturii acestuia.
b) Calculați perimetrul și aria desfășurării.
c) Fie N mijlocul muchiei VC. Desfășurând fețele VAB și VBC în același plan, aflați lungimea celui mai scurt drum pe suprafața laterală de la A la N, care traversează muchia VB.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Piramida regulată · Clasa a VIII-a · pagina 4Fișă de lucru

Problema 9.Avansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 6 cm și VA = 5 cm.

a) Desenați desfășurarea piramidei (baza și cele patru fețe laterale) și calculați apotema piramidei.
b) Calculați aria și perimetrul desfășurării.
c) Desfășurarea se decupează dintr-o foaie de carton pătrată, cu laturile paralele cu laturile bazei. Aflați latura minimă a foii și aria cartonului care rămâne nefolosit.

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Problema 10.Avansat

Piramida hexagonală regulată VABCDEF are AB = 10 cm și VA = 13 cm.

a) Desenați desfășurarea piramidei (baza și cele șase fețe laterale) și calculați apotema piramidei.
b) Calculați aria și perimetrul desfășurării.
c) Un abajur are forma suprafeței laterale a acestei piramide (fără bază). Câți centimetri pătrați de material sunt necesari dacă se adaugă 15% pentru cusături?

Trage cu degetul sau cu mouse-ul ca să rotești corpul.

Rezolvare

Piramida regulată · Clasa a VIII-a · pagina 5Fișă de lucru

Răspunsuri

Formule utile:; A_t = A_l + A_b; aria triunghiului echilateral: l²√34; apotema bazei: l√36 (triunghi), l2 (pătrat), l√32 (hexagon); în triunghiul VMB: VB² = VM² + MB².

Pr.	Răspuns
1	a) A_b = 12²√34 = 36√3 cm²; b) VM² = VA² − AM² = 100 − 36 = 64, VM = 8 cm; c) A_VAB = 12 · 82 = 48 cm², A_l = 3 · 48 = 144 cm²; d) 3 · 12 + 3 · 10 = 66 cm.
2	a) A_b = 100 cm²; b) A_VAB = 10 · 122 = 60 cm², A_t = 4 · 60 + 100 = 340 cm²; c) VA² = 12² + 5² = 169, VA = 13 cm; d) 4 · 10 + 4 · 13 = 92 cm.
3	a) VM² = 17² − 8² = 225, VM = 15 cm; b) A_VAB = 16 · 152 = 120 cm², A_l = 720 cm²; c) A_b = 6 · 16²√34 = 384√3 cm²; d) 6 · 16 + 6 · 17 = 198 cm.
4	a) piramida are 8 muchii, 96 : 8 = 12 cm; b) fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale, VM = 12√32 = 6√3 cm; c) A_VAB = 36√3 cm², A_t = 144 + 144√3 = 144(1 + √3) cm².
5	a) A_l = 3 · AB · 62 = 9 · AB = 108, deci AB = 12 cm; b) VA² = 6² + 6² = 72, VA = 6√2 cm; c) A_b = 36√3 cm², A_t = 108 + 36√3 cm²; d) 36 + 18√2 cm.
6	a) OM = 6 cm, VM² = 8² + 6² = 100, VM = 10 cm; b) A_l = 48 · 102 = 240 cm², A_t = 240 + 144 = 384 cm²; c) VA² = 10² + 6² = 136, VA = 2√34 cm; suma muchiilor este 48 + 8√34 cm.
7	a) AB√32 = 3√3, deci AB = 6 cm; b) A_VAB = 6 · 62 = 18 cm², A_l = 108 cm²; c) VA² = 6² + 3² = 45, VA = 3√5 cm; d) A_b = 6 · 36√34 = 54√3 cm², A_t = 108 + 54√3 cm².
8	a) toate fețele sunt triunghiuri echilaterale; în fiecare vârf al bazei se alătură trei unghiuri de 60°, adică 180°, deci desfășurarea este un triunghi echilateral cu latura 2 · 8 = 16 cm. b) P = 48 cm; A = 16²√34 = 64√3 cm². c) în desfășurarea laterală, ∢AVC = 120°; proiectând N pe dreapta VA se obține AN² = 10² + (2√3)² = 112, deci AN = 4√7 cm.
9	a) VM² = 25 − 9 = 16, VM = 4 cm. b) aria desfășurării este A_t = 36 + 4 · 12 = 84 cm²; perimetrul este 8 · 5 = 40 cm. c) latura foii este 4 + 6 + 4 = 14 cm; rămân 196 − 84 = 112 cm².
10	a) VM² = 169 − 25 = 144, VM = 12 cm. b) aria desfășurării este A_t = 6 · 60 + 150√3 = 360 + 150√3 cm²; perimetrul este 12 · 13 = 156 cm. c) A_l = 360 cm², material 360 · 1,15 = 414 cm².

Piramida regulată · Clasa a VIII-a · pagina 6Fișă de lucru