Prisma regulată

Problema 1.ConsolidatVIII.CS.2.5, VIII.CS.3.5

Se consideră prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ cu AB = 8 cm și AA′ = 10 cm. Punctul O este centrul bazei ABC, iar M este mijlocul muchiei AB.

1. a) Calculați aria bazei ABC.
2. b) Calculați apotema bazei OM.
3. c) Calculați aria feței ABB′A′ și suma ariilor celor trei fețe laterale.
4. d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor prismei.
5. e) Calculați aria întregii suprafețe a prismei (suma ariilor tuturor fețelor).

Problema 2.ConsolidatVIII.CS.2.5, VIII.CS.3.5

Prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ are muchia laterală de două ori mai lungă decât latura bazei, iar suma lungimilor tuturor muchiilor este egală cu 96 cm.

1. a) Aflați lungimile muchiilor AB și AA′.
2. b) Calculați aria bazei ABCD și apotema bazei.
3. c) Calculați aria unei fețe laterale și aria întregii suprafețe a prismei.
4. d) Calculați lungimea diagonalei AC a bazei și lungimea segmentului AC′.

Problema 3.ConsolidatVIII.CS.2.5, VIII.CS.3.5

Prisma hexagonală regulată ABCDEFA′B′C′D′E′F′ are apotema bazei OM = 3√3 cm, unde M este mijlocul muchiei AB, și muchia laterală AA′ = 16 cm.

1. a) Aflați lungimea laturii bazei AB.
2. b) Calculați aria bazei ABCDEF.
3. c) Calculați aria feței ABB′A′ și suma ariilor celor șase fețe laterale.
4. d) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor prismei.
5. e) Calculați lungimile segmentelor AD și AD′.

Problema 4.AvansatVIII.CS.2.5, VIII.CS.3.5

Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are toate fețele laterale pătrate, iar suma ariilor celor trei fețe laterale este egală cu 108 cm².

1. a) Aflați lungimile muchiilor AB și AA′.
2. b) Calculați aria bazei ABC și apotema bazei.
3. c) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor și aria întregii suprafețe a prismei.
4. d) Calculați perimetrul triunghiului AB′C′.

Problema 5.ConsolidatVIII.CS.2.4, VIII.CS.3.5

Suprafața laterală a prismei patrulatere regulate ABCDA′B′C′D′ se desfășoară într-un dreptunghi cu dimensiunile 24 cm și 10 cm, unde 10 cm este lungimea muchiei laterale.

1. a) Desenați desfășurarea întregii suprafețe a prismei și aflați lungimea laturii bazei AB.
2. b) Calculați aria desfășurării suprafeței laterale și aria desfășurării întregii suprafețe.
3. c) Calculați lungimea diagonalei dreptunghiului obținut prin desfășurarea suprafeței laterale.
4. d) În desfășurarea completă, cele două baze sunt lipite de fața ABB′A′, ca în desenul 3D. Calculați perimetrul desfășurării.

Problema 6.AvansatVIII.CS.2.4, VIII.CS.3.5, VIII.CS.6.4

Cubul ABCDA′B′C′D′ (prisma patrulateră regulată cu toate muchiile egale) are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu 72 cm.

1. a) Aflați lungimea muchiei cubului.
2. b) Din câte pătrate este formată desfășurarea cubului? Calculați aria desfășurării.
3. c) Desfășurarea din desenul 3D (patru pătrate în linie și câte un pătrat deasupra și dedesubtul primului) se decupează dintr-o foaie dreptunghiulară de carton. Aflați dimensiunile minime ale foii și aria cartonului care rămâne nefolosit.
4. d) Calculați perimetrul acestei desfășurări.

Problema 7.AvansatVIII.CS.2.4, VIII.CS.3.5, VIII.CS.6.4

O cutie are forma prismei hexagonale regulate ABCDEFA′B′C′D′E′F′ cu AB = 4 cm și AA′ = 10 cm.

1. a) Aflați dimensiunile dreptunghiului obținut prin desfășurarea suprafeței laterale și aria acestuia.
2. b) Calculați apotema bazei și aria bazei ABCDEF.
3. c) Calculați aria desfășurării întregii suprafețe a cutiei.
4. d) Cutia nu are capac (lipsește baza A′B′C′D′E′F′). Câți centimetri pătrați de carton sunt necesari dacă se adaugă 10% pentru îmbinări? Se consideră √3 ≈ 1,73.

Problema 8.AvansatVIII.CS.2.4, VIII.CS.3.5

Suprafața laterală a prismei triunghiulare regulate ABCA′B′C′ se desfășoară într-un pătrat cu aria de 144 cm².

1. a) Aflați latura pătratului, lungimea laturii bazei AB și lungimea muchiei laterale AA′.
2. b) Calculați aria bazei ABC și aria desfășurării întregii suprafețe a prismei.
3. c) Calculați suma lungimilor tuturor muchiilor prismei.
4. d) Calculați lungimea diagonalei pătratului din desfășurare.

Problema 9.ConsolidatVIII.CS.2.4, VIII.CS.5.4

Prisma patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ are AB = 6 cm și AA′ = 16 cm. O furnică pleacă din A, merge pe fețele ABB′A′ și BCC′B′ și ajunge în C′.

1. a) Desenați desfășurarea fețelor ABB′A′ și BCC′B′ în același plan și precizați dimensiunile dreptunghiului obținut.
2. b) Calculați lungimea drumului minim parcurs de furnică.
3. c) Drumul minim intersectează muchia BB′ în punctul P. Arătați că P este mijlocul muchiei BB′.
4. d) Comparați drumul minim cu drumul care trece pe muchia AB și apoi pe diagonala BC′ a feței BCC′B′.

Problema 10.AvansatVIII.CS.2.4, VIII.CS.5.4

Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 8 cm și AA′ = 18 cm. Un fir elastic pornește din A, înconjoară prisma trecând o singură dată pe fiecare față laterală și ajunge în A′.

1. a) Desfășurați suprafața laterală tăind-o de-a lungul muchiei AA′ (punctele A și A′ apar de două ori) și precizați dimensiunile dreptunghiului obținut.
2. b) Calculați lungimea minimă a firului.
3. c) Pentru poziția de lungime minimă, firul intersectează muchiile BB′ și CC′ în punctele M, respectiv N. Calculați BM și CN.
4. d) Arătați că AM = MN = NA′.

Problema 11.AvansatVIII.CS.2.4, VIII.CS.5.4

O furnică pleacă din vârful A al prismei hexagonale regulate ABCDEFA′B′C′D′E′F′, cu AB = 4 cm și AA′ = 9 cm, și ajunge în D′ mergând pe fețele ABB′A′, BCC′B′ și CDD′C′.

1. a) Desfășurați cele trei fețe în același plan și calculați lungimea drumului minim.
2. b) Drumul minim intersectează muchiile BB′ și CC′ în punctele M, respectiv N. Calculați BM și CN.
3. c) Calculați lungimea drumului care merge pe muchia AA′ și apoi pe diagonala A′D′ a bazei de sus. Care dintre cele două drumuri este mai scurt?

Problema 12.AvansatVIII.CS.2.4, VIII.CS.5.4, VIII.CS.6.4

O cutie are forma prismei patrulatere regulate ABCDA′B′C′D′ cu AB = 8 cm și AA′ = 9 cm. Punctul M este mijlocul muchiei B′C′. O furnică merge pe suprafața cutiei de la A la M și are de ales între două trasee.

1. a) Traseul 1 trece pe fețele ABB′A′ și BCC′B′ (traversează muchia BB′). Calculați lungimea minimă a acestui traseu.
2. b) Pe traseul 1 de lungime minimă, furnica traversează muchia BB′ în punctul P. Calculați BP.
3. c) Traseul 2 trece pe fața ABB′A′ și pe baza de sus A′B′C′D′ (traversează muchia A′B′). Calculați lungimea minimă a acestui traseu.
4. d) Stabiliți care dintre cele două trasee este mai scurt.