Poziții relative și unghiul a două drepte

Fișă de lucru · Clasa a VIII-a · drepte paralele, necoplanare, unghiul a două drepte, drepte perpendiculare
prof. Lukacs Tiberiu
Ne reamintim. Două drepte distincte în spațiu pot fi concurente, paralele (amândouă coplanare) sau necoplanare. Criteriu: dacă a ⊂ α, b ∩ α = {P} și P ∉ a, atunci a și b sunt necoplanare. Dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c. Unghiul a două drepte: înlocuim una dintre drepte cu o paralelă care o intersectează pe cealaltă;sau ducem două paralele printr-un punct din spatiu la cele două drepte . 0° ≤ ∢(a, b) ≤ 90°, iar a ⊥ b dacă ∢(a, b) = 90° (chiar dacă dreptele nu se intersectează). Unghiul se află dintr-un triunghi: echilateral (60°), dreptunghic isoscel (45°), reciproca teoremei lui Pitagora (90°) sau cu sin, cos, tg.

I. Poziții relative a două drepte

Problema 1. Poziții relative în cubDe bază

În cubul ABCDA′B′C′D′ stabiliți poziția dreptelor și justificați:

  1. a) AB și C′D′
  2. b) A′D și B′C
  3. c) AC și BD′
  4. d) A′C și B′D
Rezolvare

Problema 2. Poziții relative în piramidăConsolidat

VABCD este o piramidă patrulateră regulată, iar M, N, P sunt mijloacele muchiilor VA, VB, VC. Stabiliți poziția dreptelor:

  1. a) MN și CD
  2. b) NP și AD
  3. c) MP și BD
  4. d) VD și MN
Rezolvare
Poziții relative și unghiul a două drepte · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

II. Unghiul a două drepte

Problema 3. Unghiuri în cub (1)De bază

În cubul ABCDA′B′C′D′ calculați:

  1. a) ∢(AB, CC′)
  2. b) ∢(A′B′, BC′) (folosiți triunghiul ABC′)
  3. c) ∢(BD, C′D′)
Rezolvare

Problema 4. Unghiuri în cub (2)De bază

În cubul ABCDA′B′C′D′ calculați:

  1. a) ∢(AB′, CD′)
  2. b) ∢(AC, A′D′)
  3. c) ∢(AB′, A′D)
Rezolvare
Poziții relative și unghiul a două drepte · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

Problema 5. Triunghiuri echilaterale în cubConsolidat

În cubul ABCDA′B′C′D′ calculați:

  1. a) ∢(A′B, AC)
  2. b) ∢(B′D′, BC′)
  3. c) ∢(A′C′, BD). Ce observați despre poziția acestor drepte?
Rezolvare

Problema 6. Unghiuri în paralelipiped (cu tangentă)Consolidat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 4√3 cm, BC = 4 cm și AA′ = 4 cm. Calculați:

  1. a) ∢(A′C′, AB)
  2. b) ∢(DC′, A′B′)
  3. c) ∢(AD′, BC)
Rezolvare
Poziții relative și unghiul a două drepte · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru

Problema 7. Funcții trigonometrice în paralelipipedConsolidat

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 12 cm, BC = 5 cm și AA′ = 9 cm.

  1. a) Calculați sin, cos și tg ale unghiului dreptelor B′D′ și AB.
  2. b) Calculați cos(∢(A′B, CD)) și tg(∢(A′B, CD)).
  3. c) Calculați tg(∢(AD′, B′C′)).
Rezolvare

Problema 8. Prisma triunghiulară regulatăConsolidat

Prisma triunghiulară regulată ABCA′B′C′ are AB = 6 cm și AA′ = 6√3 cm.

  1. a) Stabiliți poziția dreptelor A′B′ și AC.
  2. b) Calculați ∢(A′B′, AC).
  3. c) Calculați ∢(AB′, CC′).
  4. d) Arătați că AA′ ⊥ BC.
Rezolvare
Poziții relative și unghiul a două drepte · Clasa a VIII-a · pagina 4Fișă de lucru

Problema 9. Piramida cu toate muchiile egaleConsolidat

Piramida patrulateră regulată VABCD are toate muchiile de 6 cm, iar M și N sunt mijloacele muchiilor VA și VC. Calculați:

  1. a) ∢(VB, AD)
  2. b) ∢(VA, VC) (reciproca teoremei lui Pitagora)
  3. c) ∢(MN, BD)
Rezolvare

Problema 10. Piramida patrulateră regulată (cu trigonometrie)Avansat

Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 10 cm și muchia laterală VA = 13 cm, iar M este mijlocul muchiei BC.

  1. a) Calculați apotema VM a piramidei.
  2. b) Calculați sin(∢(VB, AD)) și cos(∢(VB, AD)).
  3. c) Calculați tg(∢(VA, BC)).
Rezolvare
Poziții relative și unghiul a două drepte · Clasa a VIII-a · pagina 5Fișă de lucru

Problema 11. Tetraedrul regulatAvansat

VABC este un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm. Punctele M, N, P, Q sunt mijloacele muchiilor VA, VB, BC, AC.

  1. a) Calculați ∢(MN, AC).
  2. b) Arătați că MNPQ este romb.
  3. c) Calculați MP și arătați că AB ⊥ VC (indicație: ∢(AB, VC) = m(∢MNP)).
Rezolvare

Problema 12. Cubul și mijlocul unei muchiiAvansat

Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 6 cm, iar M este mijlocul muchiei BB′.

  1. a) Calculați tg(∢(AM, CC′)) și cos(∢(AM, CC′)).
  2. b) Calculați sin(∢(AM, C′D′)).
  3. c) Arătați că AM ⊥ BC (indicație: BC ∥ AD; calculați laturile triunghiului AMD).
Rezolvare
Poziții relative și unghiul a două drepte · Clasa a VIII-a · pagina 6Fișă de lucru