Unghiul a două drepte – figuri în plane diferite

Fișă de lucru · Clasa a VIII-a · pătrate, dreptunghiuri, romburi și triunghiuri situate în plane diferite
prof. Lukacs Tiberiu
Ne reamintim. Două drepte distincte în spațiu pot fi concurente, paralele (amândouă coplanare) sau necoplanare. Criteriu: dacă a ⊂ α, b ∩ α = {P} și P ∉ a, atunci a și b sunt necoplanare. Dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c. Unghiul a două drepte: înlocuim una dintre drepte cu o paralelă care o intersectează pe cealaltă;sau ducem două paralele printr-un punct din spatiu la cele două drepte . 0° ≤ ∢(a, b) ≤ 90°, iar a ⊥ b dacă ∢(a, b) = 90° (chiar dacă dreptele nu se intersectează). Unghiul se află dintr-un triunghi: echilateral (60°), dreptunghic isoscel (45°), reciproca teoremei lui Pitagora (90°) sau cu sin, cos, tg.

 

Problema 1. Două pătrate în plane diferite – poziții relativeDe bază

Pătratele ABCD și ABEF sunt situate în plane diferite. Stabiliți poziția dreptelor și justificați:

  1. a) CD și EF
  2. b) AD și BE
  3. c) DE și CF
  4. d) AC și BF
Rezolvare

Problema 2. Două pătrate în plane diferite – unghiuriDe bază

Pătratele ABCD și ABEF sunt situate în plane diferite. Calculați:

  1. a) ∢(CD, BE)
  2. b) ∢(AD, EF)
  3. c) ∢(BD, EF)
Rezolvare
Unghiul a două drepte – figuri în plane diferite · Clasa a VIII-a · pagina 1Fișă de lucru

Problema 3. Două triunghiuri echilateraleConsolidat

Triunghiurile echilaterale ABC și ABD, cu latura de 6 cm, sunt situate în plane diferite, iar CD = 6 cm. Punctele M, N, P sunt mijloacele segmentelor AD, BD, BC. Calculați:

  1. a) ∢(MN, AC)
  2. b) ∢(MN, BC)
  3. c) ∢(NP, AD)
Rezolvare

Problema 4. Două dreptunghiuri (cu funcții trigonometrice)Consolidat

Dreptunghiurile ABCD și ABEF sunt situate în plane diferite, AB = 12 cm, BC = 5 cm și BE = 4√3 cm.

  1. a) Calculați sin, cos și tg ale unghiului dreptelor EF și AC.
  2. b) Calculați ∢(CD, AE).
  3. c) Stabiliți poziția dreptelor AD și BE.
Rezolvare
Unghiul a două drepte – figuri în plane diferite · Clasa a VIII-a · pagina 2Fișă de lucru

Problema 5. Pătratul și triunghiul echilateralConsolidat

Pătratul ABCD și triunghiul echilateral ABE sunt situate în plane diferite, AB = 6 cm, iar M și N sunt mijloacele segmentelor AE și BE.

  1. a) Stabiliți poziția dreptelor MN și CD.
  2. b) Calculați ∢(MN, AC).
  3. c) Calculați ∢(CD, BE).
  4. d) Știind că CE = 6√2 cm, arătați că AD ⊥ BE.
Rezolvare

Problema 6. Rombul și pătratulAvansat

Rombul ABCD, cu AB = 6 cm și m(∢BAD) = 60°, și pătratul ABEF sunt situate în plane diferite. Calculați:

  1. a) ∢(EF, AD)
  2. b) ∢(EF, BD)
  3. c) ∢(CD, AE)
  4. d) ∢(EF, AC)
Rezolvare
Unghiul a două drepte – figuri în plane diferite · Clasa a VIII-a · pagina 3Fișă de lucru

Problema 7. Dreptunghiul și triunghiul dreptunghicAvansat

Dreptunghiul ABCD, cu AB = 8 cm și AD = 6 cm, și triunghiul ABE, dreptunghic în B, cu BE = 6 cm, sunt situate în plane diferite. Punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AE și DE.

  1. a) Calculați sin, cos și tg ale unghiului dreptelor CD și AE.
  2. b) Calculați ∢(MN, AB).
  3. c) Știind că DE = 2√34 cm, arătați că BC ⊥ AE.
Rezolvare

Problema 8. Triunghiul echilateral și pătratulAvansat

Triunghiul echilateral ABC și pătratul BCDE, cu latura de 6 cm, sunt situate în plane diferite, iar M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC.

  1. a) Stabiliți poziția dreptelor MN și DE.
  2. b) Calculați ∢(AB, DE).
  3. c) Știind că AD = 6√2 cm, arătați că AC ⊥ BE.
  4. d) Calculați ∢(MN, CE).
Rezolvare
Unghiul a două drepte – figuri în plane diferite · Clasa a VIII-a · pagina 4Fișă de lucru

Problema 9. Trapezul isoscel și pătratulConsolidat

Trapezul isoscel ABCD, cu AB ∥ CD, AB = 12 cm și CD = AD = BC = 6 cm, și pătratul ABEF sunt situate în plane diferite.

  1. a) Stabiliți poziția dreptelor CD și EF.
  2. b) Calculați ∢(EF, AD).
  3. c) Calculați ∢(CD, BE).
  4. d) Calculați ∢(EF, AC) (arătați întâi că m(∢ACB) = 90°).
Rezolvare

Problema 10. Trapezul dreptunghic și pătratul (cu trigonometrie)Avansat

Trapezul dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, m(∢DAB) = 90°, AB = 10 cm, CD = 4 cm, AD = 8 cm, și pătratul ABEF sunt situate în plane diferite. M și N sunt mijloacele segmentelor AE și DE.

  1. a) Calculați sin, cos și tg ale unghiului dreptelor EF și BC.
  2. b) Calculați ∢(CD, AE).
  3. c) Calculați ∢(MN, CD).
Rezolvare
Unghiul a două drepte – figuri în plane diferite · Clasa a VIII-a · pagina 5Fișă de lucru